ini tu tugas dari guruku, semoga berguna yaah :) :D
1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1)² =13 di titik yang berabsis –1 adalah ….
a. 3x – 2y – 3 = 0
b. 3x – 2y – 5 = 0
c. 3x + 2y – 9 = 0
d. 3x + 2y + 9 = 0
e. 3x + 2y + 5 = 0
Jawaban : D
Pembahasan :
Substitusi nilai x = –1 pada persamaan (x – 2 )² + ( y + 1 )² =13,
sehingga didapat (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 :
(–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 :
9 + ( y + 1 )² =13
( y + 1 )² =13 – 9
( y + 1 )² = 4
y + 1 = ± 2
y = –1 ± 2, sehingga didapat :
y1 = –1 – 2 y2 = –1 + 2
y1 = –3 y2 = 1
didapat koordinat titik singgungnya adalah : ( –1,–3 ) dan ( –1,1 )
Langkah 2 :
Dari persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13 jika berbagi adil maka persamaannya menjadi
( x1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( y1 + 1 ) ( y + 1 ) = 13, kemudian substitusikan kedua koordinat titik singgungnya.
( –1,–3 )
(–1 – 2 ) ( x – 2 ) + (–3 + 1 ) ( y + 1 ) = 13
–3 ( x – 2 ) + –2 ( y + 1 ) = 13
–3x + 6 – 2y – 2 = 13
–3x – 2y + 4 – 13 = 0
–3x – 2y – 9 = 0
( –1,1 )
(–1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( 1 + 1 ) ( y + 1 ) = 13
–3 ( x – 2 ) + 2 ( y + 1 ) = 13
–3x + 6 + 2y + 2 = 13
–3x + 2y – 13 + 8 = 0
–3x + 2y – 5 = 0
2. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah ….
a. 4x – y – 18 = 0
b. 4x – y + 4 = 0
c. 4x – y + 10 = 0
d. 4x + y – 4 = 0
e. 4x + y – 15 = 0
Jawaban : A
Pembahasan :
Subtitusikan nilai x=5 pada persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgungnya.
x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0
5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0
y² – 6y – 7 + 25 – 10 = 0
y² – 6y + 8 = 0
( y – 2 ) ( y – 4 ) = 0
y =2 atau y = 4, sehingga koordninat titik singgungnya adalah ( 5,2 ) dan (5,4).
Langkah 2 : Persamaan berbagi adil
x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0
x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0
Langkah 3 :
Substitusikan kedua titik singgung pada persamaan x.x1 + y.y1 – (x + x1) – 3( y + y1 ) – 7 = 0
( 5,2 )
x.x1 + y.y1 – (x + x1) – 3( y + y1 ) – 7 = 0
5x+ 2y – ( x + 5 ) – 3( y + 2 ) – 7 = 0
5x + 2y – x – 5 – 3y – 6 – 7 = 0
4x – y – 18 = 0
( 5,4 )
x.x1 + y.y1 – (x + x1) – 3( y + y1 ) – 7 = 0
5x + 4y – ( x + 5 ) – 3( y + 4 ) – 7 = 0
5x + 4y – x – 5 – 3y – 12 – 7 = 0
4x + y – 24 = 0
3. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah ….
a. x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
b. x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
c. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0
d. x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0
x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0
Jawaban : A
Pembahasan :
Karena pusat lingkaran menyinggung kedua sumbu maka nilai x dan y pastinya sama sehingga didapat persamaan x = y.
Substitusikan x = y pada persamaan garis 2x – 4y – 4 = 0, didapat :
2x – 4(x) – 4 = 0
–2x = 4
x = –2, karena x = y maka koordinat pusat lingkarannya adalah ( –2,–2 ). Karena lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y maka jari – jri lingkaran adalah 2.
Subtitusikan nilai yang didapat pada persamaan umum lingkaran :
( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r²
( x + 2 )² + ( y + 2 )² = 2²
x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
4. Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah ….
a. x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0
b. x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0
c. x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0
d. x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0
e. x² + y² + 2x + 2y – 16 = 0
Jawaban : D
Pembahasan :
Masukkan nilai ( 1,4 ) yaitu pusat lingkarannya dan jari – jarinya 3.
( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r²
( x – 1 )² + ( y – 4 )² = 3²
x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0
5 Jarak antara titik pusat lingkaran x²+y²–4x + 4 = 0 dari sumbu y adalah
a. 3
b. 2 ½
c. 2
d. 1 ½
e. 1
Jawaban : C
x² + y² – 4x + 4 = 0
x²– 4x + y² + 4 = 0
( x – 2 )² – 4 + y² + 4 = 0 ( dijadikan kuadrat sempurna )
( x – 2 )² + y² = 0 (didapat koordinat pusat lingkaran adalah ( 2,0 ) sehingga jarak ke sumbu y adalah 2.)
Cara lain bisa dengan langsung mencari pusat lingkaran dengan rumusan ( –½ A, –½ B ), dengan nilai A = –4 dan nilai B = 0 ( nilai A dan B didapat dari persamaan umum lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0
6 Diketahui lingkaran 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik ( – 2,1 ). Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari – jarinya dua kali panjang jari – jari lingkaran tadi adalah ….
a. x² + y² – 4x + 12y + 90 = 0
b. x² + y² – 4x + 12y – 90 = 0
c. x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0
d. x² + y² – 2x – 6y – 90 = 0
e. x² + y² – 2x – 6y + 90 = 0
Jawaban : C
Pembahasan :
Substitusikan titik (–2,1) kedalam persamaan 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 untuk mendapatkan nilai p.
2(–2)²+ 2(1)² – 4(–2) + 3p(1) – 30 = 0
8 + 2 + 8 + 3p – 30 = 0
3p – 12 = 0
3p = 12
p = 4
Setelah didapat nilai p = 4 maka didapat persamaan umum lingkarannya menjadi 2x² + 2y² – 4x + 12y – 30 = 0.
Jika persaman dibagi 2 akan didapat x² + y² – 2x + 6y – 15 = 0
x² – 2x + y² + 6y – 15 = 0
( x – 1 )² – 1 + ( y + 3 )² – 9 – 15 = 0 ( dijadikan kuadrat sempurna )
( x – 1 )² + ( y + 3 )² – 25 = 0
( x – 1 )² + ( y + 3 )² = 25 ( pusat lingkaran ( 1, –3 ) dengan jari – jari 5)
Karena yang diminta soal adalah persamaan lingkaran yang sepusat dengan jari – jari 2 kalinya maka akan didapat pusat lingkaran ( 1, –3 ) dengan jari – jari 10
( x – 1 )² + ( y + 3 )² = 100
x² – 2x + 1 + y² + 6y + 9 – 100 = 0
x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0
7. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + 2x -5y -21 = 0, maka nilai k adalah..
a. -1 atau -2
b. 2 atau 4
c. -1 atau 6
d. 0 atau 3
e. 1 atau 6
Jawaban : C
Pembahasan :
masukkan nilai (-5, k) ke dalam persamaan lingkaran:
(-5) 2 + k 2 + 2.(-5) – 5.k – 21 = 0
25 + k 2 - 10 – 5.k -21 = 0
k 2 - 5 k – 6 = 0
(k + 1) (k – 6) = 0
k = -1 atau k = 6
8. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2 ) 2 + (y + 1 ) 2 =13 di titik yang berabsis -1 adalah…
a. 3x – 2y – 3 = 0
b. 3x – 2y – 5 = 0
c. 3x + 2y – 9 = 0
d. 3x + 2y + 9 = 0
e. 3x + 2y + 5 = 0
Jawaban : D
Titik berabsis -1 berarti x = -1 masukkan ke dalam persamaan:
(-1 – 2) 2 + (y+1) 2 = 13
(-3) 2 + (y+1) 2 = 13
9 + (y+1) 2 = 13
(y+1) 2 = 13 – 9
(y+1) 2 =4
y + 1 = ± 2
y = -1 ± 2
y = 1 atau y =-3
jadi titiknya adalah (-1,1 ) dan (-1, -3)
Persamaan garis singgung melalui titik (a,b) adalah ( x- a) ( x1 -a) + (y-b)(y1 -b) = r 2
a = 2 ; b = -1 ; melalui titik (-1,1), x1 = -1 dan y1 = 1:
(x – 2) (-1-2) + (y+1) (1 + 1) = 13
-3x + 6 + 2y + 2 - 13 = 0
- 3x + 2y – 5 = 0, di jawaban tidak ada
melalui titik (-1,-3) , x1 = -1 dan y1 = -3
(x – 2) (-1-2) + (y+1) (-3 + 1) = 13
-3x + 6 -2y -2 - 13 = 0
- 3x -2y – 9 = 0 ⇔ 3x +2y + 9 = 0
9. Persamaan umum lingkaran yang berousat di (-7,3) dengan jari-jari 5 adalah . . .
a. x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0
b. x2 + y2 + 8x – 6y = 17 = 0
c. x2 + y2 + 4x – 10y – 35 = 0
d. x2 + y2 + 14x – 6y + 33= 0
e. x2 + y2 + 18x – 8y + 20 = 0
Jawaban : D
Pembahasan :
a = -7 A = -2a = 14
b = 3 B = -2b = -6
c = a2 + b2 – r2 = (-7)2 + 32 -52
= 49 + 9 – 25
= 33
x2 + y2 + 14x - 6y + 33 = 0
10. Nilai b jika titik (4,b) terletak pada lingkaran L = x2 + y2 = 20 adalah..
a. -2 d. -1
b. 4 e. 6
c. 5
Jawaban : A
Pembahasan :
(4,b) à x2 + y2 = 20
42 + a2 = 20
a2 = 4
a = 2
11. Jika titik (5,-k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0, maka nilai k adalah…
a. -2 d. 8
b. 4 e. 6
c. 5
Jawaban : E
Pembahasan :
(-5,k) à x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0
(-5)2 + k2 + 2(-5) – 5k – 21 = 0
K2 -5k -6 = 0
(k-6) (k+1) = 0
K = 6 atau k = -1
12. Persamaan lingkaran yang berousat di O (0,0) dan melalui titik (6,2) adalah…
a. x2 + y2 – 40 = 0
b. x2 + y2 – 58 = 0
c. x2 + y2 – 30 = 0
d. x2 + y2 – 12 = 0
e. x2 + y2 – 1 = 0
Jawaban : A
Pembahasan :
x2 + y2 = r2
62 + 22 = r2
40 = r2
jadi persamaannya adalah
x2 + y2 = 40
x2 + y2 – 40 = 0
13. Jika titik (2,3) terletak pada lingkaran (x + 1)2 + (y – b)2 = 25. Maka nilai b adalah..
a. -2 d. -1
b. 4 e. 6
c. 5
Jawaban : D
Pembahasan :
(2,3) à (x+1)2 + (y-b)2 = 25
(2+1)2 + (3-b)2 = 25
(3-b)2 = 16
3 – b = ± 4
Jadi b = -1 atau b= 7
14. Jika titik (a,1) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 4x – 6y – 27 = 0, maka nilai a adalah..
a. -8 atau 4 d. -4 atau 8
b. -6 atau 5 e. 4 atau 5
c. 1 atau 6
Jawaban : A
Pembahasan :
x2 + y2 + 4x – 6y – 27 = 0
a2 + 12 + 4a – 6 – 27 = 0
a2 + 4a – 32 = 0
(a-4) (a+8) = 0
a = 4 atau a = -8
