Soal Lingkaran SMA dan Pembahasannya :)

setelah soal penjas aku postiing, karang aku mao bagi-bagi soal matematika khususnya soal lingkaran SMA. hehehe..
ini tu tugas dari guruku, semoga berguna yaah :) :D

1.        Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1)² =13 di titik yang berabsis –1 adalah ….

a.  3x – 2y – 3 = 0

b.  3x – 2y – 5 = 0

c.  3x + 2y – 9 = 0

d. 3x + 2y + 9 = 0

e.  3x + 2y + 5 = 0

Jawaban : D

Pembahasan :

Substitusi nilai x = –1 pada persamaan (x – 2 )² + ( y + 1 )² =13,

sehingga didapat (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 :

(–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 :

9 + ( y + 1 )² =13

( y + 1 )² =13 – 9

( y + 1 )² = 4

y + 1 = ± 2

y = –1 ± 2, sehingga didapat :

y₁ = –1 – 2            y₂ = –1 + 2

y₁ = –3                  y₂ = 1

didapat koordinat titik singgungnya adalah : ( –1,–3 ) dan ( –1,1 )

Langkah 2 :

Dari persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13 jika berbagi adil maka persamaannya menjadi

( x₁ – 2 ) ( x – 2 ) + ( y₁ + 1 ) ( y + 1 ) = 13, kemudian substitusikan kedua koordinat titik singgungnya.

( –1,–3 )

(–1 – 2 ) ( x – 2 ) + (–3 + 1 ) ( y + 1 ) = 13

–3 ( x – 2 ) + –2 ( y + 1 ) = 13

–3x + 6 – 2y – 2 = 13

–3x – 2y + 4 – 13 = 0

–3x – 2y – 9 = 0

( –1,1 )

(–1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( 1 + 1 ) ( y + 1 ) = 13

–3 ( x – 2 ) + 2 ( y + 1 ) = 13

–3x + 6 + 2y + 2 = 13

–3x + 2y – 13 + 8 = 0

–3x + 2y – 5 = 0

2.        Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah ….

a.  4x – y – 18 = 0

b.  4x – y + 4 = 0

c.  4x – y + 10 = 0

d. 4x + y – 4 = 0

e.  4x + y – 15 = 0

Jawaban : A

Pembahasan :

Subtitusikan nilai x=5 pada persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgungnya.

x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0

5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0

y² – 6y – 7 + 25 – 10 = 0

y² – 6y + 8 = 0

( y – 2 ) ( y – 4 ) = 0

y =2 atau y = 4, sehingga koordninat titik singgungnya adalah ( 5,2 ) dan (5,4).

Langkah 2 : Persamaan berbagi adil

x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0

x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0

Langkah 3 :

Substitusikan kedua titik singgung pada persamaan x.x1 + y.y1 – (x + x1) – 3( y + y1 ) – 7 = 0

( 5,2 )

x.x1 + y.y1 – (x + x1) – 3( y + y1 ) – 7 = 0

5x+ 2y – ( x + 5 ) – 3( y + 2 ) – 7 = 0           

5x + 2y – x – 5 – 3y – 6 – 7 = 0

4x – y – 18 = 0

( 5,4 )

x.x1 + y.y1 – (x + x1) – 3( y + y1 ) – 7 = 0

5x + 4y – ( x + 5 ) – 3( y + 4 ) – 7 = 0

5x + 4y – x – 5 – 3y – 12 – 7 = 0

4x + y – 24 = 0

3.        Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah ….

a.  x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0

b.  x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0

c.  x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0

d. x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0

x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0

Jawaban : A

Pembahasan :

Karena pusat lingkaran menyinggung kedua sumbu maka nilai x dan y pastinya sama sehingga didapat persamaan x = y.

Substitusikan x = y pada persamaan garis 2x – 4y – 4 = 0, didapat :

2x – 4(x) – 4 = 0

–2x = 4

x = –2, karena x = y maka koordinat pusat lingkarannya adalah ( –2,–2 ). Karena lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y maka jari – jri lingkaran adalah 2.

Subtitusikan nilai yang didapat pada persamaan umum lingkaran :

( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r²

( x + 2 )² + ( y + 2 )² = 2²

x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0

4.        Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah ….

a.  x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0

b.  x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0

c.  x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0

d. x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0

e.  x² + y² + 2x + 2y – 16 = 0

 Jawaban : D

Pembahasan :

Masukkan nilai ( 1,4 ) yaitu pusat lingkarannya dan jari – jarinya 3.

( x – x₁ )² + ( y – y₁ )² = r²

( x – 1 )² + ( y – 4 )² = 3²

x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0

5       Jarak antara titik pusat lingkaran x²+y²–4x + 4 = 0 dari sumbu y adalah

a.  3

b. 2 ½

c.  2

d. 1 ½

e.  1

Jawaban : C

x² + y² – 4x + 4 = 0

x²– 4x +  y² + 4 = 0

( x – 2 )² – 4 + y² + 4 = 0 ( dijadikan kuadrat sempurna )

( x – 2 )² + y² = 0 (didapat koordinat pusat lingkaran adalah ( 2,0 ) sehingga jarak ke sumbu y adalah 2.)

Cara lain bisa dengan langsung mencari pusat lingkaran dengan rumusan ( –½ A, –½ B ), dengan nilai A = –4 dan nilai B = 0 ( nilai A dan B didapat dari persamaan umum lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0

6        Diketahui lingkaran 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik ( – 2,1 ). Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari – jarinya dua kali panjang jari – jari lingkaran tadi adalah ….

a.    x² + y² – 4x + 12y + 90 = 0

b.    x² + y² – 4x + 12y – 90 = 0

c.    x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0

d.   x² + y² – 2x – 6y – 90 = 0

e.    x² + y² – 2x – 6y + 90 = 0

Jawaban : C

Pembahasan :

Substitusikan titik (–2,1) kedalam persamaan 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 untuk mendapatkan nilai p.

2(–2)²+ 2(1)² – 4(–2) + 3p(1) – 30 = 0

8 + 2 + 8 + 3p – 30 = 0

3p – 12 = 0

3p = 12

p = 4

Setelah didapat nilai p = 4 maka didapat persamaan umum lingkarannya menjadi 2x² + 2y² – 4x + 12y – 30 = 0.

Jika persaman dibagi 2 akan didapat x² + y² – 2x + 6y – 15 = 0

x² – 2x + y²  + 6y – 15 = 0

( x – 1 )² – 1 + ( y + 3 )² – 9 – 15 = 0 ( dijadikan kuadrat sempurna )

( x – 1 )² + ( y + 3 )² – 25 = 0

( x – 1 )² + ( y + 3 )²  = 25 ( pusat lingkaran ( 1, –3 ) dengan jari – jari 5)

Karena yang diminta soal adalah persamaan lingkaran yang sepusat dengan jari – jari 2 kalinya maka akan didapat pusat lingkaran ( 1, –3 ) dengan jari – jari 10

( x – 1 )² + ( y + 3 )²  = 100

x² – 2x + 1 + y²  + 6y + 9 – 100 = 0

x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0

7.    Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + 2x -5y -21 = 0, maka nilai k adalah..

a.     -1 atau -2

b.    2 atau 4

c.     -1 atau 6

d.    0 atau 3

e.     1 atau 6

Jawaban : C

Pembahasan :

masukkan nilai (-5, k) ke dalam persamaan lingkaran:

(-5) 2 + k 2 + 2.(-5) – 5.k – 21 = 0

25 + k 2 - 10 – 5.k -21 = 0

k 2 - 5 k – 6 = 0

(k + 1) (k – 6) = 0

k = -1 atau k = 6

8.    Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2 ) 2 + (y + 1 ) 2 =13 di titik yang berabsis -1 adalah…

a.     3x – 2y – 3 = 0

b.    3x – 2y – 5 = 0

c.     3x + 2y – 9 = 0

d.    3x + 2y + 9 = 0

e.     3x + 2y + 5 = 0

Jawaban : D

Titik berabsis -1 berarti x = -1 masukkan ke dalam persamaan:

(-1 – 2) 2 + (y+1) 2 = 13

(-3) 2 + (y+1) 2 = 13

9 + (y+1) 2 = 13

(y+1) 2 = 13 – 9

(y+1) ² =4

y + 1 = ± 2

y = -1 ± 2

y = 1 atau y =-3

jadi titiknya adalah (-1,1 ) dan (-1, -3)

Persamaan garis singgung melalui titik (a,b) adalah ( x- a) ( x1 -a) + (y-b)(y1 -b) = r 2

a = 2 ; b = -1 ; melalui titik (-1,1),  x1 = -1 dan y1 = 1:

(x – 2) (-1-2) + (y+1) (1 + 1) = 13

-3x + 6 + 2y + 2 - 13 = 0

- 3x + 2y – 5 = 0,  di jawaban tidak ada

melalui titik (-1,-3) , x1 = -1 dan y1 = -3

(x – 2) (-1-2) + (y+1) (-3 + 1) = 13

-3x + 6 -2y -2 - 13 = 0

- 3x -2y – 9 = 0 ⇔ 3x +2y + 9 = 0

9.     Persamaan umum lingkaran yang berousat di (-7,3) dengan jari-jari 5 adalah . . .

a.       x² + y² + 2x – 4y – 20 = 0

b.      x² + y² + 8x – 6y = 17 = 0

c.       x² + y² + 4x – 10y – 35 = 0

d.      x² + y² + 14x – 6y + 33= 0

e.       x² + y² + 18x – 8y + 20 = 0

Jawaban : D

Pembahasan :

a = -7        A = -2a = 14

b = 3         B = -2b = -6

c = a² + b² – r² = (-7)² + 3² -5²

= 49 + 9 – 25

= 33

x² + y² + 14x - 6y + 33 = 0

10.    Nilai b jika titik (4,b) terletak pada lingkaran L = x² + y² = 20 adalah..

a.       -2                d. -1

b.      4                 e. 6

c.       5

Jawaban : A

Pembahasan :

(4,b) à x² + y² = 20

         4² + a² = 20

         a² = 4

           a = 2

11.     Jika titik (5,-k) terletak pada lingkaran x² + y² + 2x – 5y – 21 = 0, maka nilai k adalah…

a.       -2                d. 8

b.      4                 e. 6

c.       5

Jawaban : E

Pembahasan :

(-5,k) à x² + y² + 2x – 5y – 21 = 0

          (-5)2 + k2 + 2(-5) – 5k – 21 = 0

                 K2 -5k -6 = 0

(k-6) (k+1) = 0

K = 6 atau k = -1   

12.     Persamaan lingkaran yang berousat di O (0,0) dan melalui titik (6,2) adalah…

a.       x² + y² – 40 = 0

b.      x² + y² – 58 = 0

c.       x² + y² – 30 = 0

d.      x² + y² – 12 = 0

e.       x² + y² – 1 = 0

Jawaban : A

Pembahasan :

x² + y² = r²

6² + 2² = r²

40 = r²

jadi persamaannya adalah

x² + y² = 40

x² + y² – 40 = 0

13.     Jika titik (2,3) terletak pada lingkaran (x + 1)2 + (y – b)2 = 25. Maka nilai b adalah..

a.       -2              d. -1

b.      4               e. 6

c.       5

Jawaban : D

Pembahasan :

(2,3) à (x+1)2 + (y-b)2 = 25

                 (2+1)2 + (3-b)2 = 25

                             (3-b)2 = 16

                             3 – b = ± 4

Jadi b = -1 atau b= 7

14.     Jika titik (a,1) terletak pada lingkaran x² + y² + 4x – 6y – 27 = 0, maka nilai a adalah..

a.       -8 atau 4               d. -4 atau 8

b.      -6 atau 5               e. 4 atau 5

c.       1 atau 6

Jawaban : A

Pembahasan :

x² + y² + 4x – 6y – 27 = 0

a² + 1² + 4a – 6 – 27 = 0

a² + 4a – 32 = 0

(a-4) (a+8) = 0

a = 4 atau a = -8